Le noyau et l'image de la dérivation

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 — Algèbre linéaire en dimension finie · Applications linéaires et formule du rang

Énoncé

Soit $f : R_{2} [x] \to R_{2} [x]$ , $P \mapsto P^{'}$ . Déterminer $ker f$ , $Im f$ , et vérifier la formule du rang.

Corrigé

Le noyau. $P^{'} = 0$ équivaut à $P$ constant, donc

$ker f = R_{0} [x] = Vect (1), dim ker f = 1.$

L'image. Si $P = a + b x + c x^{2}$ , alors $P^{'} = b + 2 c x$ : l'image est contenue dans $R_{1} [x]$ . Réciproquement, tout $α + β x$ est atteint (prendre $P = α x + \frac{β}{2} x^{2}$ ). Donc

$Im f = R_{1} [x], rg (f) = 2.$

Formule du rang : $1 + 2 = 3 = dim R_{2} [x]$ . Vérifiée.

Une remarque instructive. $f$ n'est ni injective (les constantes disparaissent) ni surjective (aucun polynôme de $R_{2} [x]$ n'a $x^{2}$ pour dérivée dans $R_{2} [x]$ ). C'est bien un endomorphisme en dimension finie, où les deux notions sont équivalentes — et ici toutes deux fausses, en accord avec un rang $2 < 3$ .

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