Le projecteur complémentaire

Ce qu'on montre. Qu'un projecteur en cache toujours un second, qui échange son noyau et son image. On n'utilise que la caractérisation $p\circ p=p$ — aucune hypothèse de dimension finie n'est nécessaire.

$q$ est un endomorphisme. Différence de deux applications linéaires de $E$ dans $E$, $q$ est linéaire de $E$ dans $E$.

$q$ est un projecteur. L'identité commute avec tout endomorphisme, donc $$q\circ q=(\mathrm{id}-p)\circ (\mathrm{id}-p)=\mathrm{id}-p-p+p\circ p.$$ Comme $p$ est un projecteur, $p\circ p=p$, d'où $$q\circ q=\mathrm{id}-2p+p=\mathrm{id}-p=q.$$ Par la caractérisation du cours, $q$ est un projecteur.

$\ker q=\mathrm{Im}p$. Par définition, $q(x)=0$ équivaut à $x=p(x)$. Inclusion directe : si $q(x)=0$ alors $x=p(x)\in \mathrm{Im}p$. Inclusion réciproque : soit $x\in \mathrm{Im}p$, disons $x=p(y)$. Alors $$p(x)=p(p(y))=(p\circ p)(y)=p(y)=x,$$ donc $q(x)=x-p(x)=0$. Les deux inclusions donnent $\ker q=\mathrm{Im}p$.

$\mathrm{Im}q=\ker p$. Inclusion directe : pour tout $x$, $p(q(x))=p(x)-p(p(x))=p(x)-p(x)=0$, donc $q(x)\in \ker p$. Inclusion réciproque : si $p(x)=0$, alors $q(x)=x-p(x)=x$, donc $x\in \mathrm{Im}q$.

Conclusion. $p$ projette sur $\mathrm{Im}p$ parallèlement à $\ker p$ ; $q$ projette sur $\ker p$ parallèlement à $\mathrm{Im}p$ — les deux rôles sont exactement échangés. L'égalité $p+q=\mathrm{id}$ redonne d'ailleurs, pour tout $x$, la décomposition $x=p(x)+q(x)$ associée à $E=\mathrm{Im}p\oplus \ker p$.

Point délicat. L'étape $p\circ p=p$ est employée deux fois, et c'est la seule chose qui distingue un projecteur d'un endomorphisme quelconque : sans elle, $q\circ q=\mathrm{id}-2p+p\circ p$ ne se simplifie pas.