Le rang d'une composée

L'image de la composée. Par définition, $\mathrm{Im}(v\circ u)=v(u(E))$.

Majoration par $\mathrm{rg}v$. Comme $u(E)\subset F$, on a $v(u(E))\subset v(F)=\mathrm{Im}v$. Une inclusion entre sous-espaces donne une inégalité entre dimensions :

$$\mathrm{rg}(v\circ u)\le \mathrm{rg}v.$$

Majoration par $\mathrm{rg}u$. Considérons la restriction $w$ de $v$ au sous-espace $\mathrm{Im}u$. C'est une application linéaire définie sur un espace de dimension $\mathrm{rg}u$, et son image est exactement $v(u(E))=\mathrm{Im}(v\circ u)$. La formule du rang appliquée à $w$ s'écrit

$$\mathrm{rg}(w)+\dim \ker w=\mathrm{rg}u,$$

donc $\mathrm{rg}(v\circ u)=\mathrm{rg}(w)\le \mathrm{rg}u$. Les deux majorations donnent le minimum.

Le cas où $u$ est bijective. Alors $u(E)=F$, donc

$$\mathrm{Im}(v\circ u)=v(u(E))=v(F)=\mathrm{Im}v,$$

et les deux rangs sont égaux — c'est une égalité d'ensembles, pas seulement de dimensions.

Le point à retenir. Composer ne peut que faire perdre du rang, et composer par un isomorphisme n'en fait perdre aucun. C'est pourquoi un changement de base — qui revient à composer par des isomorphismes — laisse le rang d'une matrice inchangé.