Le rang d'une matrice, et les seconds membres possibles

Ce qu'on montre. Que l'image d'une application linéaire est engendrée par les colonnes de sa matrice, et que le système $AX=B$ est compatible exactement lorsque $B$ appartient à cette image.

Le rang. Notons $C_1=(1,2,1)$, $C_2=(2,4,1)$, $C_3=(3,6,1)$ les colonnes de $A$ ; l'image de $u$ est $\mathrm{Vect}(C_1,C_2,C_3)$. Les vecteurs $C_1$ et $C_2$ ne sont pas proportionnels : le rapport des premières coordonnées vaut $2$, celui des troisièmes vaut $1$. Ils forment donc une famille libre. Cherchons si $C_3$ en dépend : $a{C}_1+b{C}_2=(a+2b,2a+4b,a+b)$, et l'on veut $(3,6,1)$. Les première et troisième coordonnées donnent $a+2b=3$ et $a+b=1$, d'où $b=2$ et $a=-1$ ; la deuxième est alors automatiquement vérifiée : $2(-1)+4(2)=6$. Donc $C_3=-C_1+2C_2$ et $$\mathrm{Im}u=\mathrm{Vect}(C_1,C_2),\mathrm{rg}(u)=2.$$

Le noyau. La formule du rang annonce $\dim \ker u=3-2=1$. Résolvons $AX=0$ : la deuxième ligne est le double de la première, le système se réduit à $$x+2y+3z=0,x+y+z=0.$$ La différence donne $y+2z=0$, soit $y=-2z$, puis $x=-y-z=2z-z=z$. Donc $$\ker u=\mathrm{Vect}((1,-2,1)),$$ de dimension $1$ comme prévu. Vérification : $1-4+3=0$ et $1-2+1=0$.

Les seconds membres admissibles. Le système $AX=B$ admet une solution si et seulement si $B\in \mathrm{Im}u=\mathrm{Vect}(C_1,C_2)$, plan de ${\mathbb{R}}^3$. Cherchons son équation : une forme $\alpha x+\beta y+\gamma z$ nulle sur $C_1$ et $C_2$ vérifie $$\alpha +2\beta +\gamma =0,2\alpha +4\beta +\gamma =0.$$ Par différence, $\alpha +2\beta =0$, donc $\gamma =0$ et $\alpha =-2\beta$. En prenant $\beta =1$ : la forme est $-2x+y$. Donc $$AX=B\text{ a une solution}⟺B=(b_1,b_2,b_3)\text{ veˊrifie }{b}_2=2b_1.$$

Contrôle. C'est visible directement sur $A$ : la deuxième ligne étant le double de la première, tout $B$ atteint vérifie $b_2=2b_1$. La troisième coordonnée, elle, est libre — ce qui confirme que l'image est bien un plan et non une droite.