Le rang d'une somme

Ce qu'on montre. Une inclusion d'images, puis la formule de la dimension d'une somme. On n'emploie que le cours : $\dim (A+B)=\dim A+\dim B-\dim (A\cap B)$.

L'inclusion. Soit $y\in \mathrm{Im}(u+v)$ : il existe $x\in E$ tel que $y=(u+v)(x)$. Par définition de la somme de deux applications linéaires, $$y=u(x)+v(x),$$ somme d'un élément de $\mathrm{Im}u$ et d'un élément de $\mathrm{Im}v$. Donc $y\in \mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$, ce qui établit $$\mathrm{Im}(u+v)\subset \mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v.$$

L'inégalité de rangs. Une inclusion de sous-espaces entraîne une inégalité de dimensions, donc $$\mathrm{rg}(u+v)=\dim \mathrm{Im}(u+v)\le \dim (\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v).$$ Or la formule du cours donne $$\dim (\mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v)=\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v-\dim (\mathrm{Im}u\cap \mathrm{Im}v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v,$$ la dernière inégalité venant de la positivité d'une dimension. En composant les deux, on obtient $$\mathrm{rg}(u+v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v.$$

Un cas d'inégalité stricte. Prenons $E=F={\mathbb{R}}^2$, $u=\mathrm{id}$ et $v=-\mathrm{id}$. Alors $\mathrm{rg}u=\mathrm{rg}v=2$, tandis que $u+v$ est l'application nulle, de rang $0$ : $$0=\mathrm{rg}(u+v)<\mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v=4.$$ L'écart est ici maximal : deux applications de rang plein s'annulent mutuellement.

Point délicat. L'inclusion $\mathrm{Im}(u+v)\subset \mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$ est en général stricte, et surtout $\mathrm{Im}u$ n'est pas contenue dans $\mathrm{Im}(u+v)$ : l'exemple ci-dessus le montre. On ne peut donc rien conclure « dans l'autre sens », et il n'existe aucune minoration analogue par $\mathrm{rg}u$.