mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 7 · Exercice d'entraînement

Le rang d'une somme

Algèbre linéaire en dimension finie · Noyau, image et rang · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $E$ et $F$ de dimension finie et $u,v\in \mathcal{L}(E,F)$. Montrer que $\mathrm{Im}(u+v)\subset \mathrm{Im}u+\mathrm{Im}v$, puis que $\mathrm{rg}(u+v)\le \mathrm{rg}u+\mathrm{rg}v$. Donner enfin un exemple où l'inégalité est stricte.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.