Libre ou liée ?

Ce qu'on montre. Qu'une famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire nulle est celle aux coefficients tous nuls — et qu'une proportionnalité visible suffit à conclure dans l'autre sens.

Première famille : liée. On observe que $$(2,4,6)=2(1,2,3).$$ La combinaison $2(1,2,3)-1(2,4,6)=(0,0,0)$ est donc nulle avec des coefficients $(2,-1)$ qui ne le sont pas. La famille est liée.

Seconde famille : libre. Soient $a,b,c$ tels que $a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)=0$. Coordonnée par coordonnée : $$a+c=0,b+c=0,a+b=0.$$ Des deux premières, $a=-c$ et $b=-c$. En reportant dans la troisième : $-c-c=-2c=0$, donc $c=0$, puis $a=0$ et $b=0$. La famille est libre.

Une conséquence. Cette seconde famille compte $3$ vecteurs dans un espace de dimension $3$ ; étant libre, c'est une base de ${\mathbb{R}}^3$, d'après la caractérisation du cours.

Point délicat. Pour une famille de deux vecteurs seulement, « liée » équivaut à « proportionnels » — mais dès trois vecteurs cette lecture ne suffit plus : ici les trois vecteurs sont deux à deux non proportionnels, et la famille aurait pu être liée malgré cela.