Linéaire, ou pas

Ce qu'on montre. Qu'un seul contre-exemple numérique suffit à réfuter la linéarité, alors que l'établir demande une vérification générale.

$f$ n'est pas linéaire. Il suffit d'un couple de valeurs. Prenons $u=(1,1)$ et $\lambda =2$ : $$f(2u)=f(2,2)=(2+2,2\times 2)=(4,4),2f(u)=2(1+1,1\times 1)=2(2,1)=(4,2).$$ Ces deux vecteurs diffèrent, donc $f(\lambda u)\ne \lambda f(u)$ pour ce choix : $f$ n'est pas linéaire. La cause est le terme $xy$, qui est quadratique en les variables.

$g$ est linéaire. Soient $u=(x,y)$, $u^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Alors $\lambda u+\mu u^{\prime }=(\lambda x+\mu x^{\prime },\lambda y+\mu y^{\prime })$ et $$g(\lambda u+\mu u^{\prime })=(2(\lambda x+\mu x^{\prime })-(\lambda y+\mu y^{\prime }),\lambda x+\mu x^{\prime }).$$ En regroupant les termes en $\lambda$ d'une part, en $\mu$ d'autre part : $$g(\lambda u+\mu u^{\prime })=\lambda (2x-y,x)+\mu (2x^{\prime }-y^{\prime },x^{\prime })=\lambda g(u)+\mu g(u^{\prime }).$$ $g$ est donc linéaire.

Point délicat. Chaque coordonnée d'une application linéaire doit être une combinaison linéaire des variables, sans terme constant ni produit. C'est le test à faire d'un coup d'œil avant tout calcul.