Noyau et image d'une application de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$

Ce qu'on montre. Que le noyau se calcule en résolvant $u(x,y)=0$, et que l'image est engendrée par les images des vecteurs de la base canonique.

Le noyau. $u(x,y)=(0,0,0)$ équivaut au système $$x+y=0,x-y=0,2x=0.$$ La troisième équation donne $x=0$, puis la première $y=0$. Donc $$\ker u=\{(0,0)\},$$ et $u$ est injective d'après la caractérisation du cours.

L'image. La famille $(e_1,e_2)$ engendre ${\mathbb{R}}^2$, donc $\mathrm{Im}u=\mathrm{Vect}(u(e_1),u(e_2))$ avec $$u(1,0)=(1,1,2),u(0,1)=(1,-1,0).$$ Ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels (la troisième coordonnée du second est nulle, pas celle du premier), donc ils forment une base de $\mathrm{Im}u$ et $$\mathrm{rg}(u)=2.$$

La formule du rang. $$\dim {\mathbb{R}}^2=2=\underset{\dim \ker u}{\underbrace{0}}+\underset{\mathrm{rg}(u)}{\underbrace{2}}.$$ Elle est vérifiée.

Conclusion. $u$ est injective mais pas surjective : son image est un plan de ${\mathbb{R}}^3$, strictement inclus dans ${\mathbb{R}}^3$ puisque $2<3$.