Noyau, image et rang d'une application de ${\mathbb{R}}^3$

Le noyau. $u(x,y,z)=(0,0,0)$ équivaut au système $x=y$, $y=z$, $z=x$, c'est-à-dire $x=y=z$. Donc

$$\ker u=\mathrm{Vect}((1,1,1)),\dim \ker u=1.$$

Le rang, par la formule du rang. $\dim {\mathbb{R}}^3=3$, donc

$$\mathrm{rg}(u)=3-1=2.$$

L'image, par une inclusion puis les dimensions. La somme des trois coordonnées de $u(x,y,z)$ vaut

$$(x-y)+(y-z)+(z-x)=0,$$

donc $\mathrm{Im}u\subset H$, où $H=\{(a,b,c)\mid a+b+c=0\}$. Or $H$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $(a,b,c)\mapsto a+b+c$ : c'est un hyperplan de ${\mathbb{R}}^3$, de dimension $2$.

On conclut par égalité des dimensions. $\mathrm{Im}u$ est un sous-espace de $H$ de même dimension $2$ que $H$ : il lui est donc égal,

$$\mathrm{Im}u=\{(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3\mid a+b+c=0\}.$$

La formule du rang est vérifiée : $1+2=3$.

Le point à retenir. Une inclusion entre sous-espaces de même dimension finie est une égalité. C'est l'argument qui évite de résoudre un système pour décrire une image : on devine une inclusion, on compte, on conclut.