Noyau, image et rang d'une application de $R^{3}$

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 — Algèbre linéaire en dimension finie · Applications linéaires et formule du rang

Énoncé

Soit $u : R^{3} \to R^{3}$ définie par $u (x, y, z) = (x - y, y - z, z - x)$ . Déterminer $ker u$ , puis $Im u$ , et vérifier la formule du rang.

Corrigé

Le noyau. $u (x, y, z) = (0, 0, 0)$ équivaut au système $x = y$ , $y = z$ , $z = x$ , c'est-à-dire $x = y = z$ . Donc

$ker u = Vect ((1, 1, 1)), dim ker u = 1.$

Le rang, par la formule du rang. $dim R^{3} = 3$ , donc

$rg (u) = 3 - 1 = 2.$

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Noyau, image et rang d'une application de R3

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