Reconnaître un projecteur

Ce qu'on montre. Que $p$ satisfait la caractérisation $p\circ p=p$, donc est un projecteur, et qu'on lit alors son noyau et son image.

$p$ est linéaire. Chaque coordonnée est la combinaison linéaire $\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y$ des variables : $p$ est bien linéaire.

Le calcul de $p\circ p$. Posons $s=\frac{x+y}{2}$, de sorte que $p(x,y)=(s,s)$. Alors $$p(p(x,y))=p(s,s)=\left(\frac{s+s}{2},\frac{s+s}{2}\right)=(s,s)=p(x,y).$$ Donc $p\circ p=p$ : d'après le cours, $p$ est un projecteur.

Le noyau. $p(x,y)=(0,0)$ équivaut à $\frac{x+y}{2}=0$, c'est-à-dire $y=-x$. Donc $$\ker p=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb{R}\}=\mathrm{Vect}((1,-1)).$$

L'image. Tout vecteur de la forme $p(x,y)$ s'écrit $s(1,1)$, donc $\mathrm{Im}p\subset \mathrm{Vect}((1,1))$ ; réciproquement $p(1,1)=(1,1)$, donc l'inclusion est une égalité : $$\mathrm{Im}p=\mathrm{Vect}((1,1)).$$

Conclusion. Les deux droites sont de dimension $1$ et d'intersection $\{0\}$ (un vecteur $(x,x)$ avec $x=-x$ est nul), donc ${\mathbb{R}}^2=\mathrm{Im}p\oplus \ker p$, comme l'annonce le cours pour tout projecteur : $p$ projette sur la droite $y=x$ parallèlement à la droite $y=-x$.