Symétriques et antisymétriques

Ce sont des sous-espaces. L'application $M\mapsto {}^{t}M$ est linéaire, donc $S$ et $\mathcal{A}$ sont les noyaux respectifs de $M\mapsto {}^{t}M-M$ et $M\mapsto {}^{t}M+M$ : ce sont bien des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

L'intersection est nulle. Si $M\in S\cap \mathcal{A}$, alors $M={}^{t}M=-M$, donc $2M=0$ et $M=0$.

La somme est l'espace entier. Pour toute matrice $M$, on écrit

$$M=\underset{\in S}{\underbrace{\frac{M+{}^{t}M}{2}}}+\underset{\in \mathcal{A}}{\underbrace{\frac{M-{}^{t}M}{2}}}.$$

Le premier terme est bien symétrique, car la transposition est involutive : ${}^t\left(M+{}^{t}M\right)={}^{t}M+M$. Le second est bien antisymétrique, par le même calcul au signe près.

Conclusion. L'intersection est réduite au vecteur nul et la somme vaut ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ : la somme est directe et ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})=S\oplus \mathcal{A}$.

Contrôle par les dimensions. $S$ a pour base $E_{11}$, $E_{22}$, $E_{12}+E_{21}$, donc $\dim S=3$ ; $\mathcal{A}$ a pour base $E_{12}-E_{21}$, donc $\dim \mathcal{A}=1$. Et $3+1=4=\dim {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Le point à retenir. Pour prouver une décomposition en somme directe, on exhibe la décomposition d'un vecteur quelconque plutôt que de compter des dimensions : ici la moyenne et la demi-différence font tout le travail, et le compte des dimensions ne sert que de contrôle.