Trois dimensions à connaître

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 — Algèbre linéaire en dimension finie · Dimension, sous-espaces et supplémentaires

Énoncé

Donner la dimension de $R_{4} [x]$ , de $M_{2, 3} (R)$ , et de ${(x, y, z) ∣ x + y + z = 0}$ .

Corrigé

$R_{4} [x]$ : dimension $5$ . Une base est $(1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4})$ — il y a $5$ vecteurs, pas $4$ . En général $dim R_{n} [x] = n + 1$ , et l'oubli du « $+ 1$ » est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

$M_{2, 3} (R)$ : dimension $6$ . Une base est formée des six matrices élémentaires $E_{ij}$ ( $1 \leq i \leq 2$ , $1 \leq j \leq 3$ ), qui ont un seul coefficient non nul. En général $dim M_{n, p} (R) = n p$ .

${x + y + z = 0}$ : dimension $2$ . C'est le noyau de la forme linéaire $(x, y, z) \mapsto x + y + z$ , non nulle donc de rang $1$ ; le théorème du rang donne $3 - 1 = 2$ . Une base : $(1, - 1, 0)$ et $(1, 0, - 1)$ . C'est un plan de $R^{3}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.