Trois dimensions à connaître

${\mathbb{R}}_4[x]$ : dimension $5$. Une base est $(1,x,x^2,x^3,x^4)$ — il y a $5$ vecteurs, pas $4$. En général $\dim {\mathbb{R}}_n[x]=n+1$, et l'oubli du « $+1$ » est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ : dimension $6$. Une base est formée des six matrices élémentaires $E_{ij}$ ($1\le i\le 2$, $1\le j\le 3$), qui ont un seul coefficient non nul. En général $\dim {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})=np$.

$\{x+y+z=0\}$ : dimension $2$. C'est le noyau de la forme linéaire $(x,y,z)\mapsto x+y+z$, non nulle donc de rang $1$ ; le théorème du rang donne $3-1=2$. Une base : $(1,-1,0)$ et $(1,0,-1)$. C'est un plan de ${\mathbb{R}}^3$.