Un endomorphisme de carré nul

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 — Algèbre linéaire en dimension finie · Applications linéaires et formule du rang

Énoncé

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension finie tel que $u^{2} = 0$ . Montrer que $Im u \subset ker u$ , puis que $rg (u) \leq \frac{d i m E}{2}$ .

Corrigé

L'inclusion. Soit $y \in Im u$ , disons $y = u (x)$ . Alors

$u (y) = u (u (x)) = u^{2} (x) = 0,$

donc $y \in ker u$ . D'où $Im u \subset ker u$ .

L'inégalité sur le rang. L'inclusion donne $rg (u) = dim Im u \leq dim ker u$ . Or le théorème du rang s'écrit $dim ker u = dim E - rg (u)$ . En combinant :

$rg (u) \leq dim E - rg (u) ⟹ 2 rg (u) \leq dim E ⟹ rg (u) \leq \frac{dim E}{2} .$

Le majorant est atteint. En dimension $2$ , l'endomorphisme de matrice $(0010)$ vérifie $u^{2} = 0$ et a pour rang $1 = \frac{2}{2}$ . En dimension impaire, l'inégalité est stricte puisque le rang est entier : en dimension $3$ , $rg (u) \leq 1$ .

Lecture. Un endomorphisme de carré nul « écrase » au moins la moitié de l'espace. C'est le premier cas de nilpotence, et il montre pourquoi une matrice nilpotente non nulle ne peut jamais être inversible.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.