Un polynôme annulateur, l'inverse et les puissances

Le polynôme annulateur. $A$ est triangulaire, de coefficients diagonaux $3$ et $2$. Posons $Q(x)=(x-3)(x-2)=x^2-5x+6$. Un calcul direct donne $A^2=\left(\begin{array}{cc}9& 5\\ 0& 4\end{array}\right)$, et

$$A^2-5A+6I_2=\left(\begin{array}{cc}9& 5\\ 0& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}15& 5\\ 0& 10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right)=0.$$

L'inverse. De $A^2-5A=-6I_2$ on tire $A(5I_2-A)=6I_2$, donc

$$A^{-1}=\frac{5I_2-A}{6}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1/3& -1/6\\ 0& 1/2\end{array}\right).$$

(Contrôle : $A{A}^{-1}=I_2$.)

Les puissances. La division euclidienne de $x^n$ par $Q$ donne $x^n=Q(x)S(x)+a_{n}x+b_n$ ; en évaluant en $3$ et en $2$, racines de $Q$ :

$$\{\begin{array}{l}{3}^n=3a_n+b_n\\ 2^n=2a_n+b_n\end{array}⟺a_n=3^n-2^n,b_n=3\cdot 2^n-2\cdot 3^n.$$

Comme $Q(A)=0$, il reste

$$A^n=(3^n-2^n)A+(3\cdot 2^n-2\cdot 3^n)I_2=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 3^n-2^n\\ 0& 2^n\end{array}\right).$$

Vérification pour $n=5$ :

import numpy as np
A = np.array([[3, 1], [0, 2]])
print(np.linalg.matrix_power(A, 5))     # [[243, 211], [0, 32]]
print([[3**5, 3**5 - 2**5], [0, 2**5]]) # [[243, 211], [0, 32]]

Les deux coïncident.

La portée de la méthode. Elle ne demande ni diagonalisation ni récurrence : un polynôme annulateur scindé à racines simples suffit à calculer toutes les puissances, et l'inverse par-dessus le marché.