Un projecteur explicite

La relation.

$${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Donc $p^2=p$ : $p$ est un projecteur.

Le noyau. $p(x,y)=(x+y,0)=(0,0)$ équivaut à $y=-x$, donc

$$\ker p=\mathrm{Vect}((1,-1)),\dim \ker p=1.$$

L'image. $p(x,y)=(x+y)(1,0)$ : l'image est portée par $(1,0)$, et elle est atteinte (prendre $x=1$, $y=0$). Donc

$$\mathrm{Im}p=\mathrm{Vect}((1,0)),\mathrm{rg}(p)=1.$$

La somme directe. $1+1=2$, et les deux droites sont distinctes : ${\mathbb{R}}^2=\ker p\oplus \mathrm{Im}p$. Concrètement, $p$ projette sur la droite $\mathrm{Vect}((1,0))$ parallèlement à $\mathrm{Vect}((1,-1))$ — et non orthogonalement, ce que la matrice non symétrique annonçait.