Un supplémentaire d'un hyperplan de ${\mathbb{R}}^4$

Ce qu'on montre. Que $H$ est un hyperplan, qu'il rencontre la droite $D$ seulement en $0$, et que la somme des dimensions est la bonne — c'est la caractérisation du cours.

Dimension et base de $H$. L'application $\phi (x,y,z,t)=x+2y-z+t$ est une forme linéaire sur ${\mathbb{R}}^4$, non nulle car $\phi (1,0,0,0)=1$. Donc $H=\ker \phi$ est un hyperplan et $\dim H=3$. En résolvant $x=-2y+z-t$, les éléments de $H$ s'écrivent $$(-2y+z-t,y,z,t)=y(-2,1,0,0)+z(1,0,1,0)+t(-1,0,0,1).$$ Ces trois vecteurs engendrent $H$ ; ils sont libres, car une combinaison nulle a pour trois dernières coordonnées $(y,z,t)$, ce qui force $y=z=t=0$. C'est donc une base de $H$, de cardinal $3$, conforme à la dimension annoncée.

L'intersection est nulle. Un élément de $D$ s'écrit $(a,0,0,0)$. S'il appartient à $H$, alors $\phi (a,0,0,0)=a=0$, donc le vecteur est nul : $$H\cap D=\{0\}.$$

La somme est directe et vaut ${\mathbb{R}}^4$. On a $\dim H+\dim D=3+1=4=\dim {\mathbb{R}}^4$, et l'intersection est réduite à $\{0\}$. La caractérisation du cours donne $${\mathbb{R}}^4=H\oplus D.$$

Décomposer $u=(1,1,1,1)$. Écrivons $u=h+\lambda (1,0,0,0)$ avec $h\in H$. En appliquant $\phi$, et puisque $\phi (h)=0$ : $$\phi (u)=\lambda \phi (1,0,0,0)=\lambda .$$ Or $\phi (u)=1+2-1+1=3$, donc $\lambda =3$ et $$h=u-3(1,0,0,0)=(-2,1,1,1).$$ Contrôle : $\phi (h)=-2+2-1+1=0$, donc $h\in H$, et $h+3(1,0,0,0)=(1,1,1,1)=u$.

Point délicat. Appliquer la forme linéaire à l'égalité est plus rapide que de résoudre un système $4\times 4$ : c'est le réflexe dès qu'un supplémentaire est une droite.