Une base d'un plan de ${\mathbb{R}}^3$

Ce qu'on montre. Que $F$ est le noyau d'une forme linéaire, ce qui donne la structure et la dimension, puis qu'on en lit une base en résolvant l'équation.

Structure. L'égalité $x=2y+3z$ s'écrit $x-2y-3z=0$. Posons $\phi (x,y,z)=x-2y-3z$ : c'est une application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans $\mathbb{R}$, non nulle puisque $\phi (1,0,0)=1$. Donc $F=\ker \phi$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, et c'est un hyperplan : $$\dim F=3-1=2.$$

Une base. Un élément de $F$ s'obtient en choisissant $y$ et $z$ librement puis en posant $x=2y+3z$ : $$(2y+3z,y,z)=y(2,1,0)+z(3,0,1).$$ La famille $((2,1,0),(3,0,1))$ engendre donc $F$. Elle est libre : si $y(2,1,0)+z(3,0,1)=0$, la deuxième coordonnée donne $y=0$ et la troisième $z=0$.

Conclusion. $((2,1,0),(3,0,1))$ est une base de $F$, et $\dim F=2$ — ce qui recoupe le calcul par le noyau.

Contrôle. Les deux vecteurs vérifient bien l'équation : $2=2\times 1+3\times 0$ et $3=2\times 0+3\times 1$.