Une base, par le cardinal

${\mathbb{R}}_2[x]$ est de dimension $3$, et la famille compte exactement $3$ vecteurs. Le théorème du cours s'applique : dans un espace de dimension $d$, une famille de $d$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre ou génératrice. Il suffit donc de vérifier une des deux propriétés — et la liberté est presque toujours la plus rapide.

Liberté. Si $a(1+x)+b(1-x)+c{x}^2=0$, en regroupant : $(a+b)+(a-b)x+c{x}^2=0$. Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients le sont, d'où $a+b=0$, $a-b=0$, $c=0$, donc $a=b=c=0$.

Conclusion : la famille est libre, de cardinal $3=\dim {\mathbb{R}}_2[x]$ : c'est une base.

Le gain. Sans ce théorème, il faudrait en plus montrer que tout polynôme de degré $\le 2$ s'écrit dans la famille — un système à résoudre. Le comptage des dimensions dispense de la moitié du travail.