Une matrice de cube nul, et le binôme

Les puissances de $N$. Le produit décale les $1$ d'un cran vers la droite :

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=0.$$

Le polynôme $x^3$ est donc annulateur de $N$.

L'inverse de $I_3+N$. On développe le produit, en télescopant :

$$(I_3+N)(I_3-N+N^2)=I_3+N^3=I_3.$$

Une matrice carrée admettant un inverse à droite étant inversible, on conclut

$$(I_3+N{)}^{-1}=I_3-N+N^2=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Les puissances. $I_3$ et $N$ commutent — l'identité commute avec tout — donc la formule du binôme s'applique. Tous les termes d'indice $k\ge 3$ sont nuls puisque $N^k=0$ :

$$(I_3+N{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})N^k=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2.$$

La formule reste juste pour $n=0$ et $n=1$, les coefficients binomiaux manquants valant alors $0$.

Le point à retenir. L'hypothèse de commutation du binôme est gratuite dès qu'un des deux termes est un multiple de l'identité — c'est ce qui rend toute matrice « identité plus nilpotente » si facile à élever à une puissance. Et le même polynôme annulateur donne l'inverse et les puissances.