Une matrice de cube nul, et le binôme

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 — Algèbre linéaire en dimension finie · Matrices, changement de base et polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $N \in M_{3} (R)$ dont les coefficients situés en position $(1, 2)$ et $(2, 3)$ valent $1$ , tous les autres étant nuls. Vérifier que $N^{3} = 0$ , en déduire $(I_{3} + N)^{- 1}$ , puis $(I_{3} + N)^{n}$ pour $n \in N$ .

Corrigé

Les puissances de $N$ . Le produit décale les $1$ d'un cran vers la droite :

$N = 000100010, N^{2} = 000000100, N^{3} = 0.$

Le polynôme $x^{3}$ est donc annulateur de $N$ .

L'inverse de $I_{3} + N$ . On développe le produit, en télescopant :

$(I_{3} + N) (I_{3} - N + N^{2}) = I_{3} + N^{3} = I_{3} .$

Une matrice carrée admettant un inverse à droite étant inversible, on conclut

$(I_{3} + N)^{- 1} = I_{3} - N + N^{2} = 100 - 1 10 1 - 1 1 .$

Les puissances. $I_{3}$ et $N$ commutent — l'identité commute avec tout — donc la formule du binôme s'applique. Tous les termes d'indice $k \geq 3$ sont nuls puisque $N^{k} = 0$ :

$(I_{3} + N)^{n} = k = 0 \sum n (k n) N^{k} = I_{3} + n N + \frac{n ( n - 1 )}{2} N^{2} .$

La formule reste juste pour $n = 0$ et $n = 1$ , les coefficients binomiaux manquants valant alors $0$ .

Le point à retenir. L'hypothèse de commutation du binôme est gratuite dès qu'un des deux termes est un multiple de l'identité — c'est ce qui rend toute matrice « identité plus nilpotente » si facile à élever à une puissance. Et le même polynôme annulateur donne l'inverse et les puissances.

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