Une matrice de passage, et son inverse

La matrice de passage a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ dans $\mathcal{B}$ :

$$P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Les deux vecteurs $e_1+e_2$ et $e_1-e_2$ ne sont pas colinéaires — aucun n'est multiple de l'autre — donc la famille ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est libre ; libre et de cardinal $2$ dans un espace de dimension $2$, c'est une base.

L'inverse, par un polynôme annulateur. On calcule

$$P^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2.$$

Donc $P\times \frac{1}{2}P=I_2$ : $P$ est inversible et

$$P^{-1}=\frac{1}{2}P=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Vérification sur $v=e_1+e_2$. Ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont $X=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$. La formule $X^{\prime }=P^{-1}X$ donne

$$X^{\prime }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),$$

c'est-à-dire $v=1\times (e_1+e_2)+0\times (e_1-e_2)$. Exact.

Le sens de lecture, qui piège tout le monde : $P$ envoie les coordonnées nouvelles vers les anciennes ($X=P{X}^{\prime }$), donc c'est $P^{-1}$ qu'il faut pour aller des anciennes aux nouvelles.