Une relation qui livre l'inverse

Ce qu'on montre. Qu'une relation polynomiale suffit à produire l'inverse, sans résoudre le moindre système.

Faire apparaître $I_n$. Partons de $A^2-4A+3I_n=0$, soit $A^2-4A=-3I_n$. En factorisant par $A$ à gauche : $$A(A-4I_n)=-3I_n,\text{donc}A\times \frac{1}{3}(4I_n-A)=I_n.$$ Comme $A$ commute avec $A$ et avec $I_n$, le même calcul vaut de l'autre côté : $\frac{1}{3}(4I_n-A)A=I_n$. Donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{3}(4I_n-A).$$

Vérification de la relation sur l'exemple. Avec $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)$ : $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 8& 9\end{array}\right),A^2-4A+3I_2=\left(\begin{array}{cc}1-4+3& 0\\ 8-8& 9-12+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$ La relation est bien satisfaite.

Vérification de l'inverse. $$A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right).$$ Et $$A\times \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2-2& 1\end{array}\right)=I_2.$$

Point délicat. Le coefficient constant $3I_n$ doit être non nul pour que la méthode fonctionne : si la relation était $A^2-4A=0$, on ne pourrait rien conclure — et de fait $A$ pourrait alors ne pas être inversible.