Une somme directe dans ${\mathbb{R}}^3$

Les dimensions. $\dim F=1$ (un vecteur non nul) et $\dim G=2$ (noyau d'une forme linéaire non nulle), donc $\dim F+\dim G=3=\dim {\mathbb{R}}^3$.

L'intersection est nulle. Un élément de $F$ s'écrit $t(1,1,0)$ ; il appartient à $G$ si $t+t+0=0$, soit $t=0$. Donc $F\cap G=\{0\}$.

Conclusion. La somme est directe, et $\dim (F\oplus G)=1+2=3=\dim {\mathbb{R}}^3$ : donc $F\oplus G={\mathbb{R}}^3$.

La décomposition explicite. Pour $v=(x,y,z)$, on cherche $t$ tel que $v-t(1,1,0)\in G$, soit $(x-t)+(y-t)+z=0$, d'où $t=\frac{x+y+z}{2}$. Par exemple $(1,0,0)$ se décompose en $\frac{1}{2}(1,1,0)+\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$.

Le point de méthode : deux conditions suffisent — intersection réduite à $\{0\}$ et somme des dimensions égale à celle de l'espace. Vérifier en plus que $F+G={\mathbb{R}}^3$ serait redondant.