Une somme directe dans $R^{3}$

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 7 — Algèbre linéaire en dimension finie · Dimension, sous-espaces et supplémentaires

Énoncé

Dans $R^{3}$ , soient $F = Vect ((1, 1, 0))$ et $G = {(x, y, z) ∣ x + y + z = 0}$ . Montrer que $R^{3} = F \oplus G$ .

Corrigé

Les dimensions. $dim F = 1$ (un vecteur non nul) et $dim G = 2$ (noyau d'une forme linéaire non nulle), donc $dim F + dim G = 3 = dim R^{3}$ .

L'intersection est nulle. Un élément de $F$ s'écrit $t (1, 1, 0)$ ; il appartient à $G$ si $t + t + 0 = 0$ , soit $t = 0$ . Donc $F \cap G = {0}$ .

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Une somme directe dans R3

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