Absolument convergente, ou seulement pas absolument convergente

Ce qu'on montre. Que la majoration par $1/t^2$ règle le premier cas, et qu'une minoration période par période règle le second — en ramenant l'intégrale à la série harmonique.

Première intégrale : convergence absolue. La fonction $t\mapsto \frac{\sin t}{t^2}$ est continue sur $[1,+\infty [$, et pour tout $t\ge 1$ $$\left|\frac{\sin t}{t^2}\right|\le \frac{1}{t^2},$$ puisque $|\sin t|\le 1$. Les deux fonctions étant positives, le théorème de comparaison du cours s'applique : ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ converge ($\alpha =2>1$), donc ${\int }_1^{+\infty }\left|\frac{\sin t}{t^2}\right|\mathrm{d}t$ converge. L'intégrale est absolument convergente, donc convergente.

Seconde intégrale : la stratégie. La fonction $f:t\mapsto \frac{|\sin t|}{t}$ est continue et positive sur $[1,+\infty [$. D'après le cours, son intégrale converge si et seulement si $x\mapsto {\int }_1^{x}f$ est majorée. Montrons que cette quantité n'est pas majorée.

Une minoration sur chaque période. Soit $k\ge 1$. Pour $t\in [k\pi ,(k+1)\pi ]$, on a $t\le (k+1)\pi$, donc $\frac{1}{t}\ge \frac{1}{(k+1)\pi }$, et par croissance de l'intégrale $${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t\ge \frac{1}{(k+1)\pi }{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin t|\mathrm{d}t.$$ Or $|\sin |$ est $\pi$-périodique et ${\int }_0^{\pi }\sin u\mathrm{d}u=[-\cos u{]}_0^{\pi }=2$, donc la dernière intégrale vaut $2$ quel que soit $k$ : $${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t\ge \frac{2}{(k+1)\pi }.$$

La sommation. Pour $n\ge 1$, la relation de Chasles et la positivité de $f$ donnent $${\int }_1^{(n+1)\pi }f\ge {\int }_{\pi }^{(n+1)\pi }f=\sum _{k=1}^n{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }f\ge \frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}=\frac{2}{\pi }\sum _{j=2}^{n+1}\frac{1}{j}.$$ La série harmonique diverge, donc cette dernière somme tend vers $+\infty$ quand $n\to +\infty$. La fonction $x\mapsto {\int }_1^{x}f$ n'est donc pas majorée : l'intégrale diverge.

Conclusion. ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ n'est pas absolument convergente — et le théorème du cours ne va que dans un sens : aucun outil du chapitre ne tranche sa convergence.

Point délicat. Le découpage se fait aux multiples de $\pi$, et non en des points arbitraires : c'est la périodicité de $|\sin |$ qui rend l'intégrale de chaque morceau constante, et c'est cette constante qui fait apparaître la série harmonique.