Ce qu'on n'a pas le droit d'additionner

Ce qu'on montre. Que l'équivalence se transporte par produit, quotient et puissance, mais pas par somme — sur un exemple où l'échec est total.

Les deux équivalents. Pour $n\ge 1$, $$\frac{n^2+n}{n^2}=1+\frac{1}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }1,$$ donc $u_n\sim n^2$. Et $v_n=-n^2$ est bien sûr équivalent à $-n^2$.

La somme des équivalents. Les deux équivalents proposés sont $n^2$ et $-n^2$, de somme identiquement nulle. Or $$u_n+v_n=(n^2+n)-n^2=n\underset{n\to +\infty }{\to }+\infty .$$ La suite $(u_n+v_n)$ tend vers l'infini alors que la somme des équivalents est nulle : non seulement les deux quantités ne sont pas équivalentes, mais elles n'ont même pas la même limite. On ne somme pas des équivalents.

Pourquoi l'échec. Une équivalence contrôle une erreur relative : $u_n=n^2(1+{\epsilon }_n)$ avec ${\epsilon }_n\to 0$. Ici $n^2{\epsilon }_n=n$ est petit devant $n^2$, mais dans la somme les termes dominants $n^2$ et $-n^2$ s'annulent et ce sont précisément les erreurs qui subsistent. Une erreur négligeable devant chaque terme ne l'est plus devant leur somme.

Ce qui reste licite. D'après la proposition de compatibilité du cours, si $u_n\sim a_n$ et $v_n\sim b_n$ alors $$u_n{v}_n\sim a_n{b}_n,\frac{u_n}{v_n}\sim \frac{a_n}{b_n},u_n^p\sim a_n^p(p\in \mathbb{Z}),$$ sous réserve que les quantités écrites aient un sens. Vérifions le produit sur l'exemple : $u_n{v}_n=-n^4-n^3$ et $a_n{b}_n=-n^4$, et le quotient $\frac{-n^4-n^3}{-n^4}=1+\frac{1}{n}\to 1$ : l'équivalence est bien conservée.

Point délicat. L'interdit vaut aussi pour la différence, qui n'est qu'une somme déguisée — c'est même la situation la plus dangereuse, car c'est là que les termes dominants se détruisent.