Combien de termes pour $e$ ?

Majoration du reste. Le reste après le terme d'indice $n$ vaut

$$R_n=\sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k!}=\frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots \right).$$

Chaque facteur ajouté est au plus $\frac{1}{2}$ (dès $n\ge 0$), donc la parenthèse est majorée par la série géométrique $\sum {\left(\frac{1}{2}\right)}^j=2$ :

$$0<R_n\le \frac{2}{(n+1)!}.$$

Application. On veut $\frac{2}{(n+1)!}\le 10^{-6}$, soit $(n+1)!\ge 2\times 10^6$. Or $9!=362880$ est trop petit et $10!=3628800$ convient : il faut $n+1=10$, donc

$$n=9,$$

c'est-à-dire les dix termes $k=0,\dots ,9$.

Vérification : ${\sum }_{k=0}^9\frac{1}{k!}=2,718281526$ contre $\mathrm{e}=2,718281828$ — l'écart vaut $3,0\times 10^{-7}$, bien au-dessous du seuil demandé, et la majoration $2/10!=5,5\times 10^{-7}$ est respectée.

La leçon : une majoration explicite du reste transforme une série en méthode de calcul. Sans elle, on ne saurait jamais quand s'arrêter.