Des exponentielles jusqu'à l'infini

Ce qu'on montre. L'emploi de l'intégrale de référence ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{d}t$, convergente pour $\alpha >0$, puis la linéarité — qui n'est licite qu'après avoir établi la convergence de chaque morceau.

Première intégrale. Sur $[0,x]$, $${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-3t}\mathrm{d}t={\left[-\frac{{\mathrm{e}}^{-3t}}{3}\right]}_0^x=\frac{1}{3}-\frac{{\mathrm{e}}^{-3x}}{3}.$$ Comme $-3x\to -\infty$, on a ${\mathrm{e}}^{-3x}\to 0$, donc la limite existe et est finie : $${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-3t}\mathrm{d}t=\frac{1}{3}.$$ C'est bien la valeur annoncée par le cours, $\frac{1}{\alpha }$ avec $\alpha =3>0$.

Seconde intégrale. Les deux intégrales ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$ et ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-2t}\mathrm{d}t$ convergent (paramètres $1>0$ et $2>0$) et valent respectivement $1$ et $\frac{1}{2}$. La linéarité s'applique alors aux intégrales convergentes, comme l'affirme la proposition du cours : $${\int }_0^{+\infty }({\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t})\mathrm{d}t=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

Vérification directe. Sur $[0,x]$ : $${\int }_0^x({\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-2t})\mathrm{d}t={\left[-{\mathrm{e}}^{-t}+\frac{{\mathrm{e}}^{-2t}}{2}\right]}_0^x=\left(-{\mathrm{e}}^{-x}+\frac{{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}\right)-\left(-1+\frac{1}{2}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$ Les deux calculs coïncident.

Point délicat. La linéarité ne s'emploie qu'après avoir établi la convergence des deux termes séparément : une différence de deux intégrales divergentes n'a aucun sens, même si l'écriture semble s'y prêter.