Deux équivalents simples

Le quotient. On garde les termes dominants du numérateur et du dénominateur :

$$\frac{3n^2-n}{n^3+1}\sim \frac{3n^2}{n^3}=\frac{3}{n}.$$

En particulier la suite tend vers $0$, et $\sum \frac{3n^2-n}{n^3+1}$ diverge — même nature que la série harmonique.

La différence de racines est une forme indéterminée $\infty -\infty$ : on multiplie par la quantité conjuguée.

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\sim \frac{1}{2\sqrt{n}}.$$

Le piège à éviter : on ne remplace jamais un terme par un équivalent à l'intérieur d'une somme ou d'une différence. Écrire $\sqrt{n+1}\sim \sqrt{n}$ puis conclure « la différence est $\sim 0$ » n'a aucun sens. Les équivalents se comportent bien avec le produit, le quotient et les puissances — pas avec l'addition.