Deux intégrales décidées, puis l'une calculée

Ce qu'on montre. Que l'intégration par parties se pratique sur un segment, puis qu'on passe à la limite ; et qu'une minoration suffit à établir une divergence.

Première intégrale : convergence et valeur. La fonction $t\mapsto \frac{\ln t}{t^2}$ est continue sur $[1,+\infty [$. Intégrons par parties sur $[1,x]$ avec $u(t)=\ln t$, $v^{\prime }(t)=t^{-2}$, donc $u^{\prime }(t)=\frac{1}{t}$ et $v(t)=-\frac{1}{t}$ ; $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[1,x]$ : $${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t={\left[-\frac{\ln t}{t}\right]}_1^x+{\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^2}=-\frac{\ln x}{x}+0+{\left[-\frac{1}{t}\right]}_1^x=-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}+1.$$ Par croissances comparées, $\frac{\ln x}{x}\to 0$, et $\frac{1}{x}\to 0$. La limite existe et est finie : $${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t=1.$$

Seconde intégrale : divergence. La fonction $t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}+t}$ est continue et positive sur $[1,+\infty [$ : les théorèmes de comparaison du cours s'appliquent. Pour $t\ge 1$, on a $\sqrt{t}\le t$, donc $\sqrt{t}+t\le 2t$, et en passant aux inverses (les deux membres étant strictement positifs) : $$\frac{1}{\sqrt{t}+t}\ge \frac{1}{2t}>0.$$ Or ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{2t}=\frac{\ln x}{2}\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty$, donc ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{2t}$ diverge. Le théorème de comparaison pour les fonctions positives (la divergence de la plus petite entraîne celle de la plus grande) donne la divergence de ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}+t}$.

Contrôle par l'équivalent. On aurait aussi pu écrire $\frac{1}{\sqrt{t}+t}\underset{+\infty }{\sim }\frac{1}{t}$, les deux fonctions étant positives : même nature, donc divergence. La minoration explicite a l'avantage de ne rien supposer sur les équivalents.

Point délicat. Dans la première intégrale, on ne fait jamais d'intégration par parties directement entre $1$ et $+\infty$ : les crochets n'auraient pas de sens tant que la convergence n'est pas acquise. On travaille sur $[1,x]$, puis on regarde la limite — c'est l'ordre imposé par le cours.