Deux intégrales impropres

La première. Sur $[1,x]$ :

$${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^3}={\left[-\frac{1}{2t^2}\right]}_1^x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x^2}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

L'intégrale converge et vaut $\frac{1}{2}$. (Critère de Riemann en $+\infty$ : ${\int }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha >1$ ; ici $\alpha =3$.)

La seconde. Sur $[0,x]$ :

$${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-2t}\mathrm{d}t={\left[-\frac{{\mathrm{e}}^{-2t}}{2}\right]}_0^x=\frac{1}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}\underset{x\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

L'intégrale converge et vaut $\frac{1}{2}$, comme $\frac{1}{\lambda }$ avec $\lambda =2$.

La méthode, invariable : on intègre sur un segment, puis on fait tendre la borne. Écrire directement ${\left[\cdot \right]}_1^{+\infty }$ est un abus qu'on ne se permet qu'une fois la convergence acquise.