Deux intégrales impropres en $0$

Les deux intégrandes sont continues sur $]0,1]$ et non bornées près de $0$ : les intégrales sont impropres en $0$.

La première converge. Pour $\epsilon \in ]0,1[$ :

$${\int }_{\epsilon }^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=[2\sqrt{t}{]}_{\epsilon }^1=2-2\sqrt{\epsilon }\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\to }2.$$

L'intégrale vaut donc $2$.

La seconde diverge.

$${\int }_{\epsilon }^1\frac{\mathrm{d}t}{t}=[\ln t{]}_{\epsilon }^1=-\ln \epsilon \underset{\epsilon \to 0^{+}}{\to }+\infty .$$

Le critère de Riemann en $0$ : ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha <1$. Ici $\alpha =\frac{1}{2}<1$ pour la première, $\alpha =1$ pour la seconde.

Attention à ne pas confondre les deux bouts : en $+\infty$, c'est $\alpha >1$ qui fait converger ; en $0$, c'est $\alpha <1$. La fonction $\frac{1}{t}$ est le cas critique des deux côtés, et diverge des deux côtés.