Deux séries de logarithmes

On utilise $\ln (1+u)\sim u$ quand $u\to 0$, licite ici car les arguments tendent vers $0$ et les termes sont positifs — deux conditions à vérifier avant tout usage d'un équivalent dans une série.

Première série. $\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\sim \frac{1}{n^2}$, série de Riemann d'exposant $2>1$ : elle converge.

Seconde série. $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n}$, série harmonique : elle diverge.

Confirmation directe pour la seconde. Elle télescope :

$$\sum _{n=1}^N\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\sum _{n=1}^N(\ln (n+1)-\ln n)=\ln (N+1)\to +\infty .$$

On dispose donc ici des deux méthodes, et elles s'accordent — l'équivalent donne la nature, le télescopage donne en plus la vitesse de divergence.

Le contraste est instructif : les deux termes généraux tendent vers $0$, et pourtant l'une converge et l'autre non. Seule la vitesse décide.