Deux sommes géométriques

Ce qu'on montre. L'emploi de la série de référence ${\sum }_{n\ge 0}{q}^n=\frac{1}{1-q}$ pour $|q|<1$, en prenant garde à l'indice de départ.

Première somme. La raison est $q=\frac{1}{3}$, avec $|q|<1$ : la série converge. Le premier terme est ici celui d'indice $2$, donc on factorise : $$\sum _{n=2}^{+\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n={\left(\frac{1}{3}\right)}^2\sum _{k=0}^{+\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{6}.$$ (Le changement d'indice $k=n-2$ a été employé.)

Seconde somme. La raison est $q=-\frac{1}{2}$, avec $|q|=\frac{1}{2}<1$ : la série converge. Le premier terme est celui d'indice $0$, on applique directement la formule : $$\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}.$$

Contrôle. Les premières sommes partielles de la seconde série valent $1$, $0,5$, $0,75$, $0,625$, $0,6875$ : elles oscillent autour de $\frac{2}{3}\approx 0,667$ en resserrant, ce qui est cohérent.

Point délicat. La formule $\frac{1}{1-q}$ suppose la sommation à partir de $n=0$. Une série géométrique qui démarre plus loin se ramène à celle-là en mettant le premier terme en facteur — c'est l'erreur la plus fréquente sur ces calculs.