Deux sommes qui font apparaître $e$

Ce qu'on montre. L'emploi de la série de référence $\sum _{k\ge 0}\frac{x^k}{k!}={\mathrm{e}}^x$, valable pour tout réel $x$, éventuellement après une simplification.

Première somme. Il suffit de reconnaître la série exponentielle avec $x=2$ : $$\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{2^k}{k!}={\mathrm{e}}^2.$$ La convergence est acquise puisque la formule du cours vaut pour tout réel.

Seconde somme. Simplifions d'abord le terme général. Pour $k\ge 1$, $$\frac{k}{k!}=\frac{k}{k\times (k-1)!}=\frac{1}{(k-1)!},$$ la simplification par $k$ étant licite car $k\ge 1$. En posant $j=k-1$, l'indice $j$ décrit $\mathbb{N}$ quand $k$ décrit ${\mathbb{N}}^{\ast }$ : $$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{k}{k!}=\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{1}{j!}=\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{1^j}{j!}=\mathrm{e}.$$

Contrôle numérique. Les premiers termes de la seconde série sont $1$, $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{24}$ : les sommes partielles valent $1$, $2$, $2,5$, $2,667$, $2,708$, qui montent vers $\mathrm{e}\approx 2,718$.

Point délicat. La simplification $\frac{k}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}$ n'a de sens que pour $k\ge 1$ : c'est pourquoi la somme démarre à $k=1$ dans l'énoncé. Ajouter le terme $k=0$ aurait donné $\frac{0}{1}=0$ et n'aurait rien changé, mais l'écriture $\frac{1}{(-1)!}$ n'aurait aucun sens.