La constante d'Euler

Le terme général de la série.

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).$$

Il est négatif, d'après l'encadrement que donne l'égalité des accroissements finis : $\frac{1}{n+1}\le \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}$.

Il est absolument sommable. Le même encadrement donne

$$|u_{n+1}-u_n|=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)},$$

et $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ converge (elle télescope et vaut $1$). Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum |u_{n+1}-u_n|$ converge.

Conclusion. La série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge donc, et ses sommes partielles télescopent :

$$\sum _{n=1}^{N-1}(u_{n+1}-u_n)=u_N-u_1.$$

La suite $(u_N)$ converge donc, vers $u_1$ augmenté de la somme de la série.

Sa limite est la constante d'Euler $\gamma \approx 0,5772157$. Le résultat s'écrit aussi

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln n+\gamma +o(1),$$

ce qui précise la divergence de la série harmonique : elle diverge, mais comme $\ln n$, à une constante près. On ignore encore aujourd'hui si $\gamma$ est rationnel.