Le changement $t=1/u$ échange les deux critères

Ce qu'on montre. Que les deux critères de référence du cours — $\alpha >1$ en $+\infty$, $\alpha <1$ en $0$ — n'en font qu'un, l'inversion $t\mapsto 1/t$ échangeant les deux bornes.

La substitution est licite. Posons $\phi (u)=\frac{1}{u}$. Elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]1,+\infty [$, avec ${\phi }^{\prime }(u)=-\frac{1}{u^2}$ qui ne s'annule pas : $\phi$ est strictement décroissante, donc une bijection de $]1,+\infty [$ sur $]0,1[$. Le théorème de changement de variable du cours s'applique : les deux intégrales à comparer sont de même nature, et égales en cas de convergence.

Le calcul. Avec $t=\phi (u)=\frac{1}{u}$, on a $\mathrm{d}t=-\frac{\mathrm{d}u}{u^2}$, et $t^{-\alpha }=u^{\alpha }$. Sur un segment $[a,1]$ avec $0<a<1$, la borne $t=a$ correspond à $u=\frac{1}{a}$ et $t=1$ à $u=1$ : $${\int }_a^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}={\int }_{1/a}^1{u}^{\alpha }\left(-\frac{\mathrm{d}u}{u^2}\right)={\int }_1^{1/a}{u}^{\alpha -2}\mathrm{d}u={\int }_1^{1/a}\frac{\mathrm{d}u}{u^{2-\alpha }}.$$ Le signe « moins » a été absorbé par l'échange des bornes, conséquence du sens de variation de $\phi$.

Le passage à la limite. Quand $a\to 0^{+}$, la borne $\frac{1}{a}$ tend vers $+\infty$. Les deux membres ont donc simultanément une limite finie ou non : $${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\text{converge}⟺{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{u^{2-\alpha }}\text{converge}.$$

La déduction du critère. Le critère de référence en $+\infty$ dit que ${\int }_1^{+\infty }{u}^{-\beta }\mathrm{d}u$ converge si et seulement si $\beta >1$. Ici $\beta =2-\alpha$, donc $$2-\alpha >1⟺\alpha <1.$$ On retrouve exactement le critère du cours en $0$ : ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha <1$.

Contrôle sur un cas. Pour $\alpha =\frac{1}{2}$ : l'intégrale ${\int }_0^1{t}^{-1/2}\mathrm{d}t$ converge (et vaut $2$), et son image est ${\int }_1^{+\infty }{u}^{-3/2}\mathrm{d}u$, qui converge aussi (et vaut $2$). Les deux valeurs coïncident, comme l'annonce le théorème.

Point délicat. Les deux critères semblent contradictoires — $\alpha >1$ d'un côté, $\alpha <1$ de l'autre — et c'est une source d'erreur constante. L'inversion montre qu'ils disent la même chose : la fonction ne doit pas accumuler trop d'aire là où le problème se trouve, et $\alpha \mapsto 2-\alpha$ transporte l'une des situations sur l'autre.