mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

Le changement $t=1/u$ échange les deux critères

Analyse asymptotique et séries · Intégrales sur un intervalle quelconque · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. À l'aide du changement de variable $t=\frac{1}{u}$, montrer que ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ et ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{u^{2-\alpha }}$ sont de même nature. En déduire le critère de convergence en $0$ à partir de celui en $+\infty$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.