Les deux critères, côte à côte

Ce qu'on montre. Que les deux critères de référence du cours sont inversés, et qu'il faut donc toujours commencer par repérer où est le problème.

Les deux critères. Le cours donne, pour $\alpha \in \mathbb{R}$ : $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\text{converge}⟺\alpha >1,{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\text{converge}⟺\alpha <1.$$

Le tableau des trois cas.

• $\alpha =\frac{1}{2}$ : en $+\infty$, $\frac{1}{2}\le 1$ donc l'intégrale diverge ; en $0$, $\frac{1}{2}<1$ donc elle converge.
• $\alpha =1$ : la valeur $1$ est exclue des deux côtés. L'intégrale diverge dans les deux cas — on le voit d'ailleurs sur la primitive $\ln t$, qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et vers $-\infty$ en $0$.
• $\alpha =2$ : en $+\infty$, $2>1$ donc l'intégrale converge ; en $0$, $2\ge 1$ donc elle diverge.

La lecture qualitative. En $+\infty$, la fonction doit décroître assez vite : plus $\alpha$ est grand, mieux c'est. En $0$, elle doit ne pas exploser trop vite : plus $\alpha$ est petit, mieux c'est. Un même $\alpha$ ne peut donc jamais convenir des deux côtés, ce que les trois lignes ci-dessus confirment : aucune ligne ne porte deux « converge ».

Conséquence pratique. L'intégrale ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ diverge pour tout $\alpha$. Devant une intégrale impropre aux deux bornes, on la découpe donc systématiquement, et l'on étudie chaque morceau avec son propre critère.