Les intégrales de la factorielle

La convergence. La fonction $t\mapsto t^n{\mathrm{e}}^{-t}$ est continue et positive sur $[0,+\infty [$ ; seule la borne $+\infty$ pose problème. Par croissances comparées, $t^n{\mathrm{e}}^{-t/2}\to 0$, donc il existe $T$ tel que

$$\forall t\ge T,t^n{\mathrm{e}}^{-t}\le {\mathrm{e}}^{-t/2}.$$

Or ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{d}t$ converge pour $\alpha >0$, ici $\alpha =\frac{1}{2}$. La comparaison des fonctions positives donne la convergence de $I_n$.

La relation de récurrence. On intègre par parties sur le segment $[0,x]$, en dérivant $t^{n+1}$ et en primitivant ${\mathrm{e}}^{-t}$ :

$${\int }_0^x{t}^{n+1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t^{n+1}{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+(n+1){\int }_0^x{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$$

Le crochet vaut $-x^{n+1}{\mathrm{e}}^{-x}$, qui tend vers $0$ par croissances comparées. Les deux intégrales convergeant, le passage à la limite donne

$$I_{n+1}=(n+1)I_n.$$

La conclusion, par récurrence. $I_0={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1=0!$. Et si $I_n=n!$, alors $I_{n+1}=(n+1)n!=(n+1)!$. Donc $I_n=n!$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Le point à retenir. On n'intègre jamais par parties directement sur un intervalle non borné : on travaille sur un segment, puis on passe à la limite en vérifiant que le crochet a une limite finie. C'est la seule précaution que le chapitre ajoute à l'intégration sur un segment.