Quand l'équivalent ne suffit pas

Les deux termes généraux sont positifs, ce qui autorise les théorèmes de comparaison.

La première série converge, par négligeabilité. On coupe l'exposant $2$ en $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$ :

$$\frac{\ln n}{n^2}=\frac{1}{n^{3/2}}\times \frac{\ln n}{n^{1/2}}.$$

Par croissances comparées, $\frac{\ln n}{n^{1/2}}\to 0$, donc $\frac{\ln n}{n^2}=o\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$. Or $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ est une série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$, convergente à termes positifs : la série étudiée converge.

La seconde série converge, par majoration directe. Pour $n\ge 2$, on écrit le quotient comme un produit de $n$ facteurs :

$$\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\times \frac{2}{n}\times \frac{3}{n}\times \cdots \times \frac{n}{n}\le \frac{1}{n}\times \frac{2}{n}=\frac{2}{n^2},$$

car tous les facteurs à partir du troisième sont inférieurs ou égaux à $1$. Comme $\sum \frac{2}{n^2}$ converge, la comparaison des séries à termes positifs conclut.

Le point délicat est le même dans les deux cas : il n'existe pas d'équivalent simple. Il faut alors choisir soi-même la série de comparaison, et vérifier qu'elle domine — par une négligeabilité dans le premier cas, par une inégalité explicite dans le second.

Le point à retenir. L'équivalence est un cas particulier commode de la comparaison, pas l'outil universel. Le vrai théorème est celui de l'encadrement des termes positifs : dès qu'on sait majorer par une série convergente, on a gagné.