Quand la convergence absolue tranche, et quand elle ne dit rien

Ce qu'on montre. Que la convergence absolue ramène au cas des séries à termes positifs, seul cas où les théorèmes de comparaison s'appliquent — et qu'elle est suffisante, pas nécessaire.

Première série. Pour $n\ge 1$, $$\left|\frac{(-1{)}^n}{n^2+1}\right|=\frac{1}{n^2+1}\le \frac{1}{n^2},$$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente ($\alpha =2>1$). Les deux séries étant à termes positifs, le théorème de comparaison du cours donne la convergence de $\sum \frac{1}{n^2+1}$ : la série de départ est absolument convergente, donc convergente.

Deuxième série. Pour $n\ge 0$, $$\left|\frac{\cos n}{2^n}\right|\le \frac{1}{2^n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n,$$ car $|\cos n|\le 1$. La série géométrique de raison $\frac{1}{2}\in ]-1,1[$ converge, donc par comparaison entre séries à termes positifs $\sum \left|\frac{\cos n}{2^n}\right|$ converge : la série est absolument convergente, donc convergente.

Troisième série. Ici $$\left|\frac{(-1{)}^n}{n}\right|=\frac{1}{n},$$ et $\sum \frac{1}{n}$ est la série harmonique, série de Riemann avec $\alpha =1$ : elle diverge. La série n'est donc pas absolument convergente. Et c'est tout ce qu'on peut en dire par cette voie : le théorème du cours affirme que la convergence absolue entraîne la convergence, jamais la réciproque. Sur cet exemple, aucun outil du chapitre ne permet de conclure — ni dans un sens, ni dans l'autre.

Ce qu'il faut retenir. Les théorèmes de comparaison (par inégalité, par équivalence, par négligeabilité) exigent tous des termes de signe constant. Devant une série dont le terme général change de signe, le seul réflexe disponible est de passer aux valeurs absolues ; si cela réussit, on conclut, si cela échoue, on n'a rien démontré.

Point délicat. « $\sum |u_n|$ diverge » ne signifie pas « $\sum u_n$ diverge ». Confondre l'échec d'une méthode avec la fausseté du résultat est l'erreur de raisonnement la plus fréquente du chapitre.