Quand le terme général ne tend pas vers zéro

Ce qu'on montre. Que ces trois séries divergent pour la même raison, et que cette raison se démontre en une ligne.

La condition nécessaire. Supposons $\sum u_n$ convergente, de somme $S$, et notons $S_n$ ses sommes partielles. Pour $n\ge 1$, $$u_n=S_n-S_{n-1}\underset{n\to +\infty }{\to }S-S=0.$$ Donc : si une série converge, son terme général tend vers $0$. Par contraposée, un terme général qui ne tend pas vers $0$ interdit la convergence.

Première série. $\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\to 1\ne 0$. La série diverge.

Deuxième série. $\frac{1}{n}\to 0$ et $\cos$ est continue en $0$, donc $\cos \left(\frac{1}{n}\right)\to \cos 0=1\ne 0$. La série diverge.

Troisième série. La suite $((-1{)}^n)$ n'a pas de limite : ses termes valent alternativement $1$ et $-1$. En particulier elle ne tend pas vers $0$, et la série diverge. On peut aussi le voir sur les sommes partielles, qui valent alternativement $1$ et $0$ : elles n'ont pas de limite.

Point délicat. La réciproque est fausse : $\frac{1}{n}\to 0$ et pourtant $\sum \frac{1}{n}$ diverge. Le critère du terme général ne sert qu'à démontrer des divergences, jamais des convergences.