Quand le terme général ne tend pas vers zéro

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 8 — Analyse asymptotique et séries · Séries : nature et somme

Énoncé

Déterminer la nature de $n \geq 1 \sum \frac{n}{n + 1}$ , de $n \geq 1 \sum cos (\frac{1}{n})$ et de $n \geq 0 \sum (- 1)^{n}$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Que ces trois séries divergent pour la même raison, et que cette raison se démontre en une ligne.

La condition nécessaire. Supposons $\sum u_{n}$ convergente, de somme $S$ , et notons $S_{n}$ ses sommes partielles. Pour $n \geq 1$ , $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} n \to + \infty S - S = 0.$ Donc : si une série converge, son terme général tend vers $0$ . Par contraposée, un terme général qui ne tend pas vers $0$ interdit la convergence.

Première série. $\frac{n}{n + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \to 1 \neq = 0$ . La série diverge.

Deuxième série. $\frac{1}{n} \to 0$ et $cos$ est continue en $0$ , donc $cos (\frac{1}{n}) \to cos 0 = 1 \neq = 0$ . La série diverge.

Troisième série. La suite $((- 1)^{n})$ n'a pas de limite : ses termes valent alternativement $1$ et $- 1$ . En particulier elle ne tend pas vers $0$ , et la série diverge. On peut aussi le voir sur les sommes partielles, qui valent alternativement $1$ et $0$ : elles n'ont pas de limite.

Point délicat. La réciproque est fausse : $\frac{1}{n} \to 0$ et pourtant $\sum \frac{1}{n}$ diverge. Le critère du terme général ne sert qu'à démontrer des divergences, jamais des convergences.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.