Quatre affirmations sur les équivalents

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 8 — Analyse asymptotique et séries · Équivalents et négligeabilité

Énoncé

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec preuve ou contre-exemple.

(a) Si $u_{n} \sim v_{n}$ alors $u_{n} - v_{n} \to 0$ .
(b) Si $u_{n} \sim v_{n}$ (avec $v_{n} \neq = 0$ ) alors $\frac{u _{n}}{v _{n}} \to 1$ .
(c) Si $u_{n} = o (v_{n})$ alors $u_{n} + v_{n} \sim v_{n}$ .
(d) Si $u_{n} \sim v_{n}$ alors $ln u_{n} \sim ln v_{n}$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Que l'équivalence contrôle un rapport, jamais une différence — et qu'elle ne traverse pas n'importe quelle fonction.

(a) Fausse. Prenons $u_{n} = n^{2} + n$ et $v_{n} = n^{2}$ . Alors $\frac{u _{n}}{v _{n}} = 1 + \frac{1}{n} \to 1$ , donc $u_{n} \sim v_{n}$ ; pourtant $u_{n} - v_{n} = n n \to + \infty + \infty.$ L'écart absolu peut être aussi grand qu'on veut : seule l'erreur relative est contrôlée.

(b) Vraie. C'est la définition même : $u_{n} \sim v_{n}$ signifie qu'il existe une suite $(ε_{n})$ de limite $1$ telle que $u_{n} = ε_{n} v_{n}$ à partir d'un certain rang, donc $\frac{u _{n}}{v _{n}} = ε_{n} \to 1$ dès que $v_{n}$ ne s'annule pas.

(c) Vraie. Supposons $u_{n} = o (v_{n})$ , c'est-à-dire $\frac{u _{n}}{v _{n}} \to 0$ (avec $v_{n}$ non nul à partir d'un rang). Alors $\frac{u _{n} + v _{n}}{v _{n}} = \frac{u _{n}}{v _{n}} + 1 n \to + \infty 0 + 1 = 1,$ ce qui est exactement $u_{n} + v_{n} \sim v_{n}$ . C'est la proposition du cours reliant les deux notions : ajouter un terme négligeable ne change pas l'équivalent.

(d) Fausse. Prenons $u_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ et $v_{n} = 1$ . Alors $\frac{u _{n}}{v _{n}} \to 1$ , donc $u_{n} \sim v_{n}$ . Mais $ln v_{n} = 0$ pour tout $n$ , alors que $ln u_{n} \neq = 0$ : le quotient $\frac{ln u _{n}}{ln v _{n}}$ n'est même pas défini, et les deux suites ne sont pas équivalentes.

Ce qu'il faut retenir. L'équivalence se transporte par produit, quotient et puissance entière. Elle ne se transporte ni par somme, ni par logarithme, ni par exponentielle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.