Trois équivalents à trouver

Le logarithme. On sort le terme dominant du logarithme :

$$\ln (n^2+n)=\ln \left(n^2\right)+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=2\ln n+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).$$

Le quotient par $2\ln n$ vaut $1+\frac{\ln (1+1/n)}{2\ln n}$, qui tend vers $1$. Donc $\ln (n^2+n)\sim 2\ln n$.

La différence de racines est une forme indéterminée : on multiplie par la quantité conjuguée.

$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}.$$

Le dénominateur est équivalent à $2n$, donc l'expression tend vers $\frac{1}{2}$ : elle est équivalente à la constante $\frac{1}{2}$.

Le quotient d'exponentielles. Par croissances comparées, $n^3=o(2^n)$ et $n=o(3^n)$. Donc $2^n+n^3\sim 2^n$ et $3^n+n\sim 3^n$, et le quotient de deux équivalents étant un équivalent du quotient :

$$\frac{2^n+n^3}{3^n+n}\sim \frac{2^n}{3^n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n.$$

Le point délicat est le premier : on ne remplace pas $n^2+n$ par $n^2$ à l'intérieur du logarithme comme on le ferait dans un produit. Ici cela donne le bon résultat, mais seulement après vérification du quotient — et cela échouerait pour $\ln (1+\frac{1}{n})$, où l'argument tend vers $1$.

Le point à retenir. L'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et les puissances fixes, jamais avec la somme ni avec la composition. Devant un logarithme ou une exponentielle, on revient au quotient.