Trois limites par croissances comparées

Ce qu'on montre. Que les croissances comparées règlent les deux premières limites, et qu'une majoration élémentaire règle la troisième — que la hiérarchie usuelle ne couvre pas.

Première limite. Les croissances comparées du cours affirment que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : pour $q>1$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, $\frac{n^{\alpha }}{q^n}\to 0$. Ici $q=2>1$ et $\alpha =10$, donc $$\frac{n^{10}}{2^n}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$ L'exposant $10$ ne change rien : il retarde seulement le moment où le quotient commence à décroître.

Deuxième limite. Les croissances comparées affirment aussi que toute puissance l'emporte sur toute puissance du logarithme : $\frac{(\ln n{)}^{\beta }}{n^{\alpha }}\to 0$ pour $\alpha >0$. Ici $\beta =5$ et $\alpha =\frac{1}{2}>0$, donc $$\frac{(\ln n{)}^5}{\sqrt{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$

Troisième limite. Elle ne relève pas des croissances comparées, car la base $n$ varie. On écrit $$\frac{2^n}{n^n}={\left(\frac{2}{n}\right)}^n.$$ Pour $n\ge 4$, on a $\frac{2}{n}\le \frac{1}{2}$, donc, les deux membres étant positifs, $$0\le {\left(\frac{2}{n}\right)}^n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\underset{n\to +\infty }{\to }0$$ comme suite géométrique de raison $\frac{1}{2}\in ]-1,1[$. Le théorème d'encadrement donne $$\frac{2^n}{n^n}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$

Point délicat. Écrire $n^n={\mathrm{e}}^{n\ln n}$ et invoquer « l'exponentielle l'emporte » serait un abus : la hiérarchie du cours compare $n^{\alpha }$ à $q^n$ pour $q$ fixe. Dès que la base dépend de $n$, il faut une majoration directe.