Trois natures de séries

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 8 — Analyse asymptotique et séries · Nature et somme des séries

Énoncé

Déterminer la nature de $\sum \frac{1}{n ^{2} + n}$ , $\sum \frac{1}{n}$ , $\sum (\frac{2}{3})^{n}$ .

Corrigé

$\sum \frac{1}{n ^{2} + n}$ converge. Le terme général est positif et $\frac{1}{n ^{2} + n} \sim \frac{1}{n ^{2}}$ , série de Riemann d'exposant $2 > 1$ . (On peut même calculer la somme : $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ télescope et donne $1$ .)

$\sum \frac{1}{n}$ diverge. C'est une série de Riemann d'exposant $α = \frac{1}{2} \leq 1$ . Le terme général tend pourtant vers $0$ : le critère nécessaire ne suffit pas.

$\sum (\frac{2}{3})^{n}$ converge. Série géométrique de raison $\frac{2}{3} < 1$ , de somme $\frac{1}{1 - 2/3} = 3$ .

Les deux références à connaître : Riemann converge si et seulement si $α > 1$ ; géométrique converge si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ . Presque toute la suite du chapitre consiste à s'y ramener par équivalence ou comparaison.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.