Trois natures de séries

$\sum \frac{1}{n^2+n}$ converge. Le terme général est positif et $\frac{1}{n^2+n}\sim \frac{1}{n^2}$, série de Riemann d'exposant $2>1$. (On peut même calculer la somme : $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ télescope et donne $1$.)

$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. C'est une série de Riemann d'exposant $\alpha =\frac{1}{2}\le 1$. Le terme général tend pourtant vers $0$ : le critère nécessaire ne suffit pas.

$\sum {\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ converge. Série géométrique de raison $\left|\frac{2}{3}\right|<1$, de somme $\frac{1}{1-2/3}=3$.

Les deux références à connaître : Riemann converge si et seulement si $\alpha >1$ ; géométrique converge si et seulement si $|q|<1$. Presque toute la suite du chapitre consiste à s'y ramener par équivalence ou comparaison.