Tronquer une intégrale, en majorant le reste

from math import exp, log

def trapezes(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * (f(a)/2 + sum(f(a + i*h) for i in range(1, n)) + f(b)/2)

def integrale_tronquee(X, n=100000):
    f = lambda t: exp(-t * t)
    valeur = trapezes(f, 1, X, n)
    majorant_reste = exp(-X)          # voir la justification ci-dessous
    return valeur, majorant_reste

def X_suffisant(eps):
    return -log(eps)                  # e^-X <= eps

La majoration du reste. Pour $t\ge 1$, on a $t^2\ge t$, donc ${\mathrm{e}}^{-t^2}\le {\mathrm{e}}^{-t}$ et

$$0\le {\int }_X^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t\le {\int }_X^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-X}.$$

Ce majorant prouve au passage la convergence de l'intégrale, par comparaison de fonctions positives.

Le seuil. On veut ${\mathrm{e}}^{-X}\le 10^{-10}$, soit

$$X\ge 10\ln 10\approx 23,03.$$

Prendre $X=24$ suffit largement.

Une remarque sur la générosité de la borne. Le vrai reste au-delà de $X=24$ vaut environ ${\mathrm{e}}^{-576}$, un nombre absurdement petit : notre majorant ${\mathrm{e}}^{-24}\approx 4\times 10^{-11}$ est correct mais très grossier. Une majoration plus fine, ${\int }_X^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t^2}\le \frac{{\mathrm{e}}^{-X^2}}{2X}$, montre que $X=5$ suffirait déjà.

Ce qu'il faut retenir : une majoration grossière mais sûre vaut mieux qu'un arrêt arbitraire. La valeur exacte de l'intégrale est $\frac{\sqrt{\pi }}{2}(1-\mathrm{erf}(1))\approx 0,1394$.