mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

Un équivalent du reste d'une série convergente

Analyse asymptotique et séries · Comparaison des suites · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On pose, pour $n \geq 1$ , $R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2}}$ . Justifier l'existence de $R_{n}$ , l'encadrer par deux séries télescopiques, puis montrer que $R_{n} \sim \frac{1}{n}$ .

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Élève

L'existence de $R_{n}$ vient de la série de Riemann avec $α = 2$ . Pour l'encadrement, je ne vois pas quelles séries télescopiques choisir.

Cherche à encadrer $\frac{1}{k ^{2}}$ par des fractions qu'on sait écrire comme différences de deux termes consécutifs. Par quels produits d'entiers proches de $k \times k$ peux-tu remplacer $k^{2}$ pour l'augmenter ou le diminuer un peu ?

Élève

Pour $k \geq 2$ , on a $k (k - 1) < k^{2} < k (k + 1)$ , ce qui encadre $\frac{1}{k ^{2}}$ , et ces deux fractions se décomposent en différences.

Bien. Que valent les sommes de ces différences pour $k$ allant de $n + 1$ à $N$ , puis leurs limites quand $N \to + \infty$ ? Une fois $R_{n}$ encadré, quel encadrement de $n R_{n}$ en déduis-tu ?

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