Un équivalent du reste d'une série convergente

Ce qu'on montre. Que le reste d'une série de Riemann convergente se contrôle par deux séries dont la somme se calcule exactement, ce qui donne un encadrement assez fin pour un équivalent.

Existence. La série $\sum \frac{1}{k^2}$ est une série de Riemann avec $\alpha =2>1$ : elle converge. Son reste d'ordre $n$ existe donc pour tout $n$, et $R_n\to 0$.

L'encadrement terme à terme. Pour $k\ge 2$, on a $k-1<k<k+1$, donc $$k(k+1)>k^2>k(k-1)>0⟹\frac{1}{k(k+1)}\le \frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}.$$ Toutes ces quantités sont positives, et les inégalités valent pour tout $k\ge n+1$ dès que $n\ge 1$.

Les deux séries encadrantes se calculent. Elles sont télescopiques : $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.$$ Pour la première, la somme partielle de $k=n+1$ à $N$ vaut $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{N+1}$, qui tend vers $\frac{1}{n+1}$. Pour la seconde, elle vaut $\frac{1}{n}-\frac{1}{N}$, qui tend vers $\frac{1}{n}$. Les deux séries convergent donc, et par sommation d'inégalités entre séries convergentes à termes positifs : $$\frac{1}{n+1}\le R_n\le \frac{1}{n}.$$

L'équivalent. Multiplions par $n>0$ : $$\frac{n}{n+1}\le n{R}_n\le 1.$$ Comme $\frac{n}{n+1}\to 1$, le théorème d'encadrement donne $n{R}_n\to 1$, c'est-à-dire $$R_n\sim \frac{1}{n}.$$

Contrôle numérique. Pour $n=10$, l'encadrement donne $0,0909\le R_{10}\le 0,1$ ; la valeur exacte est $R_{10}\approx 0,0952$, bien centrée dans la fourchette. Et l'équivalent annonce $0,1$ : l'erreur relative est d'environ $5\%$, conforme à un encadrement d'amplitude $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$.

Point délicat. L'encadrement est ici d'amplitude négligeable devant les bornes : c'est ce qui autorise à conclure à un équivalent. Un encadrement du type $\frac{1}{2n}\le R_n\le \frac{2}{n}$, tout aussi correct, n'aurait donné aucun équivalent.