Un équivalent qu'on ne peut pas exponentier

L'équivalence de départ est immédiate :

$$\frac{n^2+n}{n^2}=1+\frac{1}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }1.$$

Mais après exponentiation, le quotient vaut

$$\frac{{\mathrm{e}}^{n^2+n}}{{\mathrm{e}}^{n^2}}={\mathrm{e}}^n\underset{n\to +\infty }{\to }+\infty ,$$

donc les deux suites ne sont pas équivalentes — elles sont même infiniment éloignées l'une de l'autre en proportion.

La règle en cause. L'équivalence $u_n\sim v_n$ signifie $\frac{u_n}{v_n}\to 1$, c'est-à-dire que la différence relative tend vers $0$. Elle ne dit rien de la différence absolue : ici $(n^2+n)-n^2=n\to +\infty$. Or l'exponentielle transforme les différences en quotients :

$$\frac{{\mathrm{e}}^{u_n}}{{\mathrm{e}}^{v_n}}={\mathrm{e}}^{u_n-v_n},$$

et ce quotient ne tend vers $1$ que si $u_n-v_n\to 0$.

La règle correcte : ${\mathrm{e}}^{u_n}\sim {\mathrm{e}}^{v_n}$ si et seulement si $u_n-v_n\to 0$. On ne compose donc jamais un équivalent par l'exponentielle sans cette vérification. Le logarithme, lui, est plus docile : $u_n\sim v_n$ avec $u_n\to +\infty$ donne bien $\ln u_n\sim \ln v_n$.