Un exposant qui dépend de $n$

Ce qu'on montre. Que devant un exposant variable, on ramène le terme général à une forme connue — par un équivalent dans le premier cas, par une majoration dans le second, l'équivalent ne se transportant pas à travers l'exponentielle.

Première série : elle diverge. Écrivons, pour $n\ge 2$, $$\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{n\cdot n^{1/n}},n^{1/n}={\mathrm{e}}^{\frac{\ln n}{n}}.$$ Par croissances comparées $\frac{\ln n}{n}\to 0$, donc par continuité de l'exponentielle $n^{1/n}\to 1$. Par conséquent $$\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^{1/n}}\sim \frac{1}{n}.$$ Les deux termes généraux sont positifs, donc les deux séries sont de même nature. Or $\sum \frac{1}{n}$ diverge : la série diverge.

Le piège écarté. L'exposant $1+\frac{1}{n}$ est strictement supérieur à $1$ pour tout $n$, ce qui pourrait faire croire à une convergence « à la Riemann ». Mais le critère de Riemann porte sur un exposant fixe : ici il tend vers $1$, et la série se comporte comme la série harmonique.

Deuxième série : elle converge. Le terme général $u_n={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n^2}$ est strictement positif. Passons au logarithme : $$\ln u_n=n^2\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)=-n^2\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).$$ Il ne suffit pas d'écrire $\ln (1+\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}$ : cela donnerait $\ln u_n\sim -n$, ce qui n'autorise pas à écrire $u_n\sim {\mathrm{e}}^{-n}$ — l'équivalence ne passe pas à l'exponentielle. On établit donc une inégalité.

Une minoration de $\ln (1+x)$. Posons $g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ sur $[0,+\infty [$. Alors $$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x}=\frac{x^2}{1+x}\ge 0,$$ et $g(0)=0$, donc $g\ge 0$ : pour tout $x\ge 0$, $\ln (1+x)\ge x-\frac{x^2}{2}$.

Conclusion. Avec $x=\frac{1}{n}$ : $$n^2\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\ge n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}\right)=n-\frac{1}{2},$$ donc $\ln u_n\le -n+\frac{1}{2}$, puis, l'exponentielle étant croissante, $$0<u_n\le \sqrt{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{-n}=\sqrt{\mathrm{e}}{\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)}^n.$$ La série géométrique de raison $\frac{1}{\mathrm{e}}\in ]0,1[$ converge ; par comparaison entre séries à termes positifs, la série converge.

Point délicat. Les deux exemples s'étudient à l'opposé : le premier tolère l'équivalent, qui porte sur le terme général ; le second l'interdit, car il porterait sur l'exposant — et un écart borné dans l'exposant devient un facteur multiplicatif quelconque.